Question

什么是调和级数？它发散吗？为什么？

Answer 1

发散，可以利用（1/（n＋1）＋...＋1/2n）永远大于1/2证明

Answer 2

用Mathematⅰca做数学实验，Sum为求和函数，
Sum[ 1/n，{ n，1} ]＝1，
Sum[ 1/n，{ n，2} ]＝1.5，
Sum[ 1/n，{ n，3} ]＝1.83，
Sum[ 1/n，{ n，4} ]＝2.08，
··· ··· ···
Sum[ 1/n，{ n，10^5 } ]＝12.09，
Sum[ 1/n，{ n，10^6 } ]＝算不出了。
和的趋势 → 越来越大。索性用 ∞ 放进去算，求出来居然是191613 的数值，还有一大堆英语解释说明。显示屏呈现:
Sum[ 1/n，{ n，∞ } ]＝191613.
■ 对MMA软件而言，(Σ求和) 与 (Sum求和) 结果一致。另外 Σ(1/n) → ( n＝1~∞ ) 求和答案也是 191613。理论证明调和级数求和＝∞，但MMA数值实验未达到∞，亦是值得思考的事情 ( 可能舍入误差引起，后面的数项越来越小舍去了)。
■ 新版本 MMA11.3 计算，Σ(1/n)，n＝1~∞，输出答案是: Sum(和) 不收敛。痛快，吻合原先理论证明的结果！

Answer 3

Answer 4

形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数，它是 p=1 的p级数。 调和级数是发散级数。在n趋于无穷时其部分和没有极限（或部分和为无穷大）。
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
　　1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
　　注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲,如果An是不全部为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

Answer 5

发散