Question

在三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且sin²A＋sin²B＝1

﹙1﹚求证：三角形ABC为直角三角形 ﹙2﹚当c＝1时，求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

(1) 求证：三角形ABC为直角三角形
∵sin²A＋sin²B＝1=sin²A＋cos²A
∴sin²B=cos²A
∴sinB=cosA 或 sinB=-cosA
∴∠A+∠B=90° 或 |∠A-∠B|=90°(舍，∵c边最长)
∴三角形ABC为直角三角形.
(2) 当c＝1时，求三角形ABC面积的最大值
∵三角形ABC为直角三角形
∴a²＋b²=c²=1
∴S=1/2·a·b≤1/2·1/2·√(a²＋b²)=1/4
当且仅当a=b=√2/2是，S取得最大值1/4.

Answer 2

sin²A＋cosA²＝1且sin²A＋sin²B＝1所以cosA²＝sin²B所以A＝B或A+B=180（舍）所以A＝B=45三角形ABC为直角三角形 第2个问用S＝1/2absinc做自己研究吧