Question

已知函数f(x)=|x-1|（x+3）,(1)求函数f(x)的单调区间，并针对单调递减区间给予证明;

(2)求函数f(x)在区间[-3,0]上的最值

要详细过程，谢谢~！最好用数学专业用语。

Answer 1

当X≥1时，f(x)=（x-1）（x+3）=（x+1）²-4
其在（-∞，-1]上为减函数，在[-1，+∞）为增函数
又因为X≥1
所以在X≥1，f(x)为增函数
当X≤1时，f(x)=-（x-1）（x+3）=-（x+1）²+4
其在（-∞，-1]上为增函数，在[-1，+∞）为减函数
又因为X≤1
所以在X≤-1，f(x)为增函数，在-1≤X≤1时，f(x)为减函数
所以（-∞，-1]∪[1，+∞）为函数增区间，[-1,1]为函数减区间
设X1，X2∈[-1,1]，且X1<X2
所以f(x1)-f(x2)=X2²+2X2-X1²-2X1=（X2-X1)(X2+X1)+2(X2-X1)=(X2-X1)(X2+X1+2)
因为X1<X2，所以X2-X1＞0
又因为X1，X2∈[-1,1]，所以X1+1＞0，X2+1＞0，即X2+X1+2＞0
所以f(x1)-f(x2)=(X2-X1)(X2+X1+2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
所以[-1,1]为函数减区间
由上题可知，
函数f(x)在区间[-3,-1]上为增函数，函数f(x)在区间[-1,0]上为减函数
f(-3)=0，f(-1)=4，f(0)=3
所以在区间[-3,0]最小值为0，最大值为4

Answer 2

解：（1）当x≥1时，f(x)=(x-1)(x+3)
对称轴为x=-1,所以当x>1时，f(x)单调递增
当x<1时， f(x)=(1-x)(x+3)
对称轴是x=-1,单调增区间是(-∞,-1]
单调减区间是（-1,1）
下对单调减区间进行证明，用定义法
令X1<X2 且 X1,X2在（-1,1）区间上
f(X1)-f(X2)=(1-X1)(X1+3)-(1-X2)(X2+3)=(X2-X1)(X2+X1+2)>0
即f(X1)>f(X2)
所以单调递减