Question

若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系

若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2-6x-27=0，x2-2x-8=0，x2+3x-274=0，x2+6x-27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x-12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．

Answer 1

（1）不是，
解方程x²+x-12=0得，x₁=3，x₂=-4．
|x₁|+|x₂|=3+4=7=2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x²+x-12=0不是“偶系二次方程；

（2）存在．理由如下：
∵x²-6x-27=0和x²+6x-27=0是偶系二次方程，
∴假设c=mb²+n，
当b=-6，c=-27时，
-27=36m+n．
∵x²=0是偶系二次方程，
∴n=0时，m=-

3

4

，
∴c=-

3

4

b²．
∵x2+3x?

27

4

＝0是偶系二次方程，
当b=3时，c=-

3

4

×3²．
∴可设c=-

3

4

b²．
对于任意一个整数b，c=-

3

4

b²时，
△=b²-4ac，
=4b²．
x=

?b±2b

2

，
∴x₁=-

3

2

b，x₂=

1

2

b．
∴|x₁|+|x₂|=2|b|，
∵b是整数，
∴对于任何一个整数b，c=-

3

4

b²时，关于x的方程x²+bx+c=0是“偶系二次方程”．

Answer 2

若x1，x2是关于x的方程x^2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x^2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x^2﹣6x﹣27＝0，x^2﹣2x﹣8＝0，x^2+3x﹣＝0，x^2+6x﹣27＝0，x^2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．
（1）判断方程x^2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x^2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．
解：（1）不是，
解方程x^2+x﹣12＝0得，x1＝3，x2＝﹣4．
|x1|+|x2|＝3+4＝7＝2×3.5．
∵3.5不是整数，
∴x^2+x﹣12＝0不是“偶系二次方程；
（2） 存在．
（1）当b=0,则方程变为x^2 +c＝0 x1^2=x2^2=-c|
若满足|x1|+ | x2|=2|k|（k为整数）
存在c=0, -1, -2, -3---即c=-|m|（m为整数）时就 满足|x1|+ | x2|=2|k| （k为整数）
（2）当b≠0时，根据求根公式所以若满足 |x1|+ |x2|=2|k|（k为整数）而 |x1|+ |x2|=有两种可能，x1与 x2同号时|x1|+|x2|=|b|=2|k|,x1与x2异号时|x1|+|x2|= 根号下b^2-4c=2|k|，根据韦达定理x1x2=c,同号c>0,所以在c>0时不能保证所有实数b都能满足|b|=2|k|（b是偶数时可以）。当C<0时根号下b^2-4c=2|k|, 只要k是整数就可以，不防设k=b,则存在c=-（3/4）b^2时满足
∴对于任何一个整数b，能找到c<0且c＝﹣（3/4）b^2时，关于x的方程x^2+bx+c＝0是“偶系二次方程”其实只要c=四分之一b方减去k方(k是整数）就可以。肇东市第十中学刘奎军