Question

已知，f(x)＝x(12x?1+12)，（1）求f（x）的定义域 （2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； &...

已知，f(x)＝x(12x?1+12)，（1）求f（x）的定义域 （2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）证明f（x）＞0．

Answer 1

（1）由2^x-1≠0得x≠0，
∴f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
（2）∵f（x）=x（

1

2x?1

+

1

2

）=

x

2

?

2x +1

2x?1

，
f（-x）=-

x

2

?

2?x +1

2?x?1

=

x

2

?

2x +1

2x?1

=f（x），
∴f（x）为偶函数．
（3）证明：∵f（x）=

x

2

?

2x +1

2x?1

，
当x＞0，2^x＞2⁰，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，
∴f（x）＞0；
同理当x＜0，则2^x-1＜0，又2^x+1＞0，
∴f（x）=

x

2

?

2x +1

2x?1

＞0；
∴f（x）＞0．
又x≠0．综上所述，f（x）＞0．