Question

∀x∈(a,b),|f ''(x)|≦|f '(x)|+|f(x)|,并且存在点c∈（a,b）,使得f(c)=f '(c)=0.

求证在（a，b）内f(x)≡0

Answer 1

在区间[c－0.25，c+0.25]上，记M＝max{|f’(x)|+|f(x)|}，下面证明M＝0。
设最大值在x0达到，则由Taylor展式有
f(x0)=f(c)+f’(c)(x0－c)+f’’(d)(x0－c)^2/2，
|f(x0)|＝|f’’(d)|(x0－c)^2/2
<=(|f(d)|+|f'(d)|)(x0－c)^2/2
<=M*0.25^2/2=M/32。
类似有f’(x0)=f’(c)+f’’(e)(x0－c)，|f’(x0)|<=M*0.25，
因此M＝|f(x0)|+|f’(x0)|<=M/32+M/4，故M＝0，
即f’(x)恒等于0，f(x)恒等于f(c)＝0于区间[c－0.25，c+0.25]上。
继续递推下去，可知f(x)在(a，b)上恒等于0。