Question

二次函数y=13x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点O，A1，A2，A3，…，在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…

二次函数y=13x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点O，A1，A2，A3，…，在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，在二次函数y=13x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，都为等边三角形，则第n个等边三角形An-1BnAn（n≥1的整数）的边长是______．

Answer 1

作B₁A⊥y轴于A，B₂B⊥y轴于B，B₃C⊥y轴于C．
设等边△A₀B₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等边△A₀B₁A₁中，A₀A=a，
所以B₁A=atan60°=

3

a，代入解析式得

1

3

×（

3

a）²=a，
解得a=0（舍去）或a=1，于是等边△A₀B₁A₁的边长为1×2=2；
②等边△A₂B₁A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=

3

b，B₂点坐标为（

3

b，2+b）
代入解析式得

1

3

×（

3

b）²=2+b，
解得b=-1（舍去）或b=2，
于是等边△A₂B₁A₁的边长为2×2=4；
于是n个等边三角形A_n-1B_nA_n（n≥1的整数）的边长是2n．
故答案为：2n．