Question

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（sinA+sinB+sinC）（a-b+c）=asinC，（Ⅰ）求B；（

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（sinA+sinB+sinC）（a-b+c）=asinC，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝23，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）根据正弦定理可知（sinA+sinB+sinC）（a-b+c）=asinC，
等价为（a+b+c（a-b+c）=ac，
即（a+c）²-b²=ac，
∴a²+c²-b²=-ac，
∴由余弦定理得cos?B＝

a2+c2?b2

2ac

＝

?ac

2ac

＝?

1

2

，
∴B=120°．
（Ⅱ）∵b＝2

3

，B=120°．
∴b²=a²+c²-2accos?120°，
即12=a²+c²+ac≥2ac+ac=3ac，
∴ac≤4，即a=c时取等号．
∴△ABC面积S=

1

2

acsin120°＝

3

4

ac≤

3

4

×4＝

3

．
故△ABC面积S的最大值为

3

．