Question

求一个正交变换x=Py，把二次型f（x1，x2，x3）=2x12+3x22+3x23+4x2x3化为标准形

求一个正交变换x=Py，把二次型f（x1，x2，x3）=2x12+3x22+3x23+4x2x3化为标准形．

Answer 1

二次型的矩阵为  A=

2 0 0 0 3 2 0 2 3

，
由

.

A?λE

.

＝

.

2 ?λ 0 0 3?λ 2 0 2 3?λ

.

＝(2?λ)(λ?1)(λ?5)＝0 得
特征值有：λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5
λ₁=1时，解方程（A-E）x=0
由A?E＝

1 0 0 0 2 2 0 2 2

～

1 0 0 0 1 1 0 0 0

得基础解系ξ1＝

0 ?1 1

，把ξ₁单位化得p1＝

0 ? 1 2 1 2

λ₂=2时，解方程（A-2E）x=0
由A?2E＝

0 0 0 0 1 2 0 2 1

～

0 1 0 0 0 1 0 0 0

得基础解系ξ2＝

1 0 0

，令p2＝ξ2＝

1 0 0

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