Question

在三角形ABC中，BE、CF分别为角ABC，角ACB的平分线……

在三角形ABC中，BE、CF分别为角ABC，角ACB的平分线，过点A作BE，CF的垂线，垂足分别为P，Q。求证：PQ平行于BC。
图的话还请大家自己画一下，这道题本来就没有图，结果我自己画的时候居然整出三张不同的图……估计小爷我又哪里抽住了……

Answer 1

◆考查的知识点:中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边.

证明:延长AP交直线BC于M,延长AQ交直线BC于N.

∵∠APB=∠MPB=90°;BP=BP;∠ABP=∠MBP.

∴⊿BAP≌⊿BMP(ASA),AP=MP.

同理可证:⊿AQC≌⊿NQC,AQ=NQ.

∴PQ为⊿AMN的中位线,故PQ∥BC. 

【无论你画的是何种三角形，其证明方法完全相同，因此你只要画出符合条件的一种图形，根据所画的图证得结论就行了，没有必要分直角、锐角或钝角三角形。】

Answer 2

 

设BE, CF相交于H，连接AH并延长交BC于D，三角形中，三条角平分线相交于一点H，

所以AD平分角BAC。

BE垂直AP  CF垂直AQ,

所以角APH=角AQH=90

所以AQHP四点共圆。

于是：在AQHP形成的圆中，同一条弦PH对应的圆周角：

角PQH=角HAP。

另外：

由题可知：∠BAD+∠CAD+∠EAP+∠ABP=90°
            因为2(∠ABP+∠BAD+∠ACF)=180°
             所以∠BAD+∠CAD+∠EAP+∠ABP=∠BAD+∠ACF+∠ABP
              即∠CAD+∠EAP=∠ACF
             因此∠HAP=1／ 2∠ACB

所以：角PQH=1/2角ACB=角BCQ

所以PQ平行于BC（内错角相等）

其它还有垂线在三角形内部的，证法一样！！！

Answer 3

问老师吧。。。

Answer 4

那你就解三种情况啊

Answer 5

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