Question

已知椭圆 ，（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦

已知椭圆 ，（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（0.5,0.5）且被P点平分的弦所在直线的方程。

Answer 1

（1）y= ； （2） (去除包含在椭圆 内部的部分)； （3）2x+4y-3=0。

(1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y). 联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m, 消去y得, , 因此 =- , . M的坐标是:x= ,y=2x+m, ,消去m得:y= . (2)设弦的端点为P( ),Q( ),其中点是M(x,y). 因此: = , 化简得: (去除包含在椭圆 内部的部分). (3)由(2)可得弦所在直线的斜率为k= = ,因此所求直线方程是: y- =- (x- ),化简得:2x+4y-3=0.