Question

从1~2005中取出若干自然数，使其取出的数中，任意3个数的和都能被36整除，最多可以取出多少个数？

Answer 1

我是这样计算的：
首先，你要求的是最多的吧！也就是说，当你把这个数取出后就不要再放回去了，简白一点说就是一个数字“只能”出现一次。要3个数之和能被36整除，就得是36的倍数，如：36,72,108,144，180......
先求出在1~36中，找出能组成36的3个数，有：1、2、33 || 3、4、29 || 5、6、25 || 7、8、21 || 9、10、17 || 11、12、13 总共6种可能。
再求出在1~72中，找出能组成72的3个数（但是记住，一个数字只能出现一次），有 ： 1+12、2+12、33+12（即13、14、45） /13已经出现过了，故舍去这个可能/
3+12、4+12、29+12（即15、16、41）
5+12、6+12、25+12（即17、18、37）
7+12 、8+12 、21+12 （即19、20、33） /33已经出现过了，故舍去这个可能/
9+12 、10+12 、17+12 （即21、22、29）
11+12 、12+12 、13+12 （即23、24、26）
你看看上面的数字，13和33在我们求1~36中，找出能组成36的3个数的时候已经出现了吧！所以在1~72中，能组成72的3个数的只有4中可能。
再求出在1~108中，找出能组成108的3个数字：
有： 15+12 、16+12 、41+12 （即27、28、53）
17+12 、18+12 、37+12 （即29、30、49） /29已经在上面出现过了，舍去这个可能/
21+12、22+12 、29+12 （即33、34、41） /41已经在上面出现过了，舍去这个可能/
23+12 、24+12 、26+12 （即35、36、38）
在上面的数中，29和41在我们求在1~72中，找出能组成72的3个数的时候已经出现过了，故舍去。 所以在1~108中，能组成108的3个数字的可能有2种。
再求多一次在1~144中，能组成144的3个数字。
有： 27+12、28+12、53+12（即39、40、65）
35+12、36+12、38+12（即47、48、50）
所以在1~144中，能组成144的3个数字有2种。 我还计算了180、216它们也是只有2种可能。 依次类推，我推出，在以后36倍数中都是只有2种可能。
所以我们求出在1~2005的总可能：
在1~2005中，总共有55个36的倍数，其中第一个倍数即36有6种可能，第二个倍数有4种可能，其余的都是两种可能，故总可能为： 6+4+53 X 2=116
其中一种可能有3个数，故最多能取出的数为：
116 X 3=348

Answer 2

∵ 任意三个数的和都是36的倍数，所以取出所有除以36余12的数：
12,48,84,... ...1992,
总计56个，能够满足任意三个数的和能被36整除。

Answer 3

2005/36=55