Question

设函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，求a，b，c的值，并求出相应的极值

设函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．

Answer 1

f′(x)＝3ax2+2bx+c…(2分)

∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，
∴

f′(?1)＝0 f′(1)＝0 f(1)＝?1

∴

3a?2b+c＝0 3a+2b+c＝0 a+b+c＝?1

∴

a＝ 1 2 b＝0 c＝? 3 2

…（6分）
∴f′(x)＝

3

2

x2?

3

2

＝

3

2

(x+1)(x?1)
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数为增函数；
函数在（-1，1）上，f′（x）＜0，函数为减函数，
∴当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=1；
当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-1．…（12分）