Question

线性代数 如何证明 r(A+B)<=r(A,B)<=rA+rB？

前半部分：A+B可被A，B线性表示，所以 r(A+B)<=r(A,B)
后半部分：r(A,B)<=rA+rB怎么证？？

Answer 1

A的列向量的极大无关组和B的列向量组的极大无关组构成的向量组，为方便称其为向量组C。

(A，B)的列向量组等价于向量组C，故r(A,B)=r(C)

C中一共有r(A)+r( B)个向量，故r(C)<=r(A)+r( B)

故r(A，B)<=r(A)+r( B)

在线性代数中，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。

扩展资铅渗料：

在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。

向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加槐逗脊→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

参考资料来指老源：百度百科——列向量

Answer 2

A的列向量的极大无关组和B的列向量组的极大大则无关组旦模构成的滚迟棚向量组，为方便称其为向量组C。

(A,B)的列向量组等价于向量组C，故r(A,B)=r(C)

C中一共有r(A)+r( B)个向量，故r(C)<=r(A)+r( B)

故r(A,B)<=r(A)+r( B)

Answer 3

第二部分证明毁升租：
设【αi】(i=1,2,...,r)为A的极大线性无关组，有r个向量；【βj】(j=1,2,...,t)为B的极大线性无关组，有t个向量。由极大线性无关组的性质可知，【αi】与A等价，【βj】与B等价。且R（A）=R（αi）=r，R（B）=R（βj）=t。
现在有矩阵（A，B），其秩为矩阵的极大线性无关组的向量个数。而由前面的分析可知，如果【αi】与【βj】线性无关，（A,B）的极大线性无关组为【αi,βj】，纤兆R（A,B）=r+t。若【αi】也【βj】线性相关，则【αi,βj】的向量数肯定小于r+t，即R（A,B）≤笑巧r+t=R(A)+R(B)

Answer 4

证r（A，B）小于(A 0
0 B)