Question

计算曲面积分I=∫∫(y-z)dydz (x-y)dxdy (z-x)dxdz

Answer 1

用高斯公式做，补充平面S‘：z=1，取上侧，则S+S’构成一闭曲4102面，对其使用公式公式，令P=x，Q=y+y^2，R=z，则P/x+Q/y+R/z=3+2y。

所以I+i'=∫∫∫(3+2y)dxdydz=3∫∫∫dxdydz+∫∫∫2ydxdydz，第一个积分=3∫dz∫∫dxdy=3∫πzdz=3π/2，第二个积分被积函数是关于y的奇函数。

积分区域关于xoz平面对称，故积分=0，所以I+i'=3π/2。再计算l'，在z=1平面上dz=0，所以l'=∫∫dxdy=π，所以l=3π/2-π=π/2。

扩展资料：

曲面积分与高斯公式，第一类曲面积分(1)问题的提出设有一块光滑的金属曲4102面S。它的密度是不均匀的1653。

在其点(x,y,z)处密度为f（x,y,z），并设f在S上连续,则金属曲面S的质量M说明:第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关(2)第一类曲面积分的计算(代入法)设S是一个光滑曲面，S的方程是Z=f(x,y),当f1时可得空间曲面面积的计算公式，即例1．I=,S是半球面（）。

第二类曲面积分(1)问题的提出磁通量问题。表示说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号(2)计算(代入法)用带入法计算时,一般应分成三个计算:（如果曲面积分取的上侧取号，如果曲面积分取的下侧取-号）。