Question

设M=﹛a|a=x²-y²,x,y∈z﹜.

求证；4k-2￠M[其中k∈z].
属于M的两个整数，其积是否仍属于M。

Answer 1

当a∈M时，a＝x^2－y^2＝(x＋y)(x－y)，如果x、y都是奇数或都是偶数，则x＋y、x－y都是偶数，从而a都是4的倍数；如果x、y是一奇一偶，则x＋y、x－y都是奇数
也就是M中的元素要么是4的倍数，要么是奇数，从而4k－2不属于M
若s＝m^2－n^2∈M，t＝x^2－y^2∈M，则：
st＝(m^2－n^2)(x^2－y^2)
＝m^2x^2－m^2y^2－n^2x^2＋n^2y^2
＝(m^2x^2＋n^2y^2)－(m^2y^2＋n^2x^2)
＝(m^2x^2＋n^2y^2＋2mnxy)－(m^2y^2＋n^2x^2＋2mnxy)
＝(mx＋ny)^2－(my＋nx)^2
∈M

追问

为什么要先分奇偶啊 。 是4的倍数有什么用呢

追答

整数可以分成两大类：奇数和偶数，而偶数又可以分成4的倍数和非4的倍数的偶数
对x、y进行分类是为了说明a只能是4的倍数或是奇数，不可能是非4的倍数的偶数，即不可能是4k－2的形式