求不定积分：∫x/(x^2-x-2 )dx
我问的问题是：∫x/(x^2-x-2 )dx写出的∫1/3(2/x-2)+1/(x+1),有没有具体的拆分规律？ 展开
解：∫x/(x^2-x-2 )dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫（2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1))）dx
=2/3∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C
即∫x/(x^2-x-2 )dx的不定积分为2/3ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。
扩展资料：
1、不定积分的求解方法
（1）积分公式法
例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
（2）换元积分法
例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C
2、不定积分的公式类型
（1）含ax^2±b的不定积分
∫(1/(a*x^2+b))=1/√(a*b)*arctan(√a*x/√b)+C
（2）含a+bx的不定积分
∫(1/(ax+b))=1/b*ln|ax+b|+C、∫(x/(ax+b))=1/b^2*(a+bx-aln|ax+b|)+C
（3）含x^2±a^2的不定积分
∫(1/(x^2+a^2))=1/a*arctan(x/a)+C、∫(1/(x^2-a^2))=1/(2a)*ln|(x-a)/(x+a)|+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
不定积分∫x/(x^2-x-2 )dx的结果为2/3*ln|x-2|+1/3ln|x+1|+C。
解：因为x/(x^2-x-2)=x/((x-2)*(x+1))，
令x/((x-2)*(x+1))=A/(x-2)+B/(x+1)=(Ax+A+Bx-2B)/((x-2)*(x+1))，
可得A=2/3，B=1/3。那么，
∫x/(x^2-x-2)dx
=∫x/((x-2)*(x+1))dx
=∫(2/(3*(x-2))+1/(3*(x+1)))dx
=2/3*∫1/(x-2)dx+1/3∫1/(x+1)dx
=2/3*ln|x-2|+1/3*ln|x+1|+C
扩展资料：
1、因式分解的方法
（1）十字相乘法
对于x^2+px+q型多项式，若q可分解因数为q=a*b，且有a+b=p，那么可应用十字相乘法对多项式x^2+px+q进行因式分解。
x^2+px+q=(x+a)*(x+b)
（2）公式法
平方差公式，a^2-b^2=(a+b)*(a-b)。
完全平方和公式，a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
完全平方差公式，a^2-2ab+b^2=(a-b)^2。
2、不定积分凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
直接利用积分公式求出不定积分。
3、不定积分公式
∫mdx=mx+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cscxdx=-cotx+C
参考资料来源：百度百科-不定积分
被积函数是分数形式一般要拆分，怎么拆必须公式要熟。
∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C C为常数
拆分规则：在有意义的情况下，是任何一个赋值都会满足的。
因为本身有理式的拆分就是一个恒等式求解的过程，也就是设a(x)=a(x)，那么你无论给左右两边取什么值，只要这个值在a(x)的定义域内，该等式一定成立的。
而且如果不采用赋值法的话，就直接进行同分，最后我们用到的定理叫做多项式恒等定理，效果是一样的。
扩展资料：
求不定积分法：
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 。
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu。
如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说，u,v 选取的原则是：
积分容易者选为v，求导简单者选为u。
例子：∫Inx dx中应设U=Inx,V=x
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。
可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。
∫x/(x^2-x-2 )dx=∫x/[(x-2)(x+1)]dx=∫[1/(x+1)+2/(x-2 )(x+1)]dx
=∫[1/(x+1)+2/3*[1/(x-2 )-1/(x+1)]dx=∫[1/3(x+1)+2/3(x-2 )]dx
=1/3*ln(x+1)+2/3*ln(x-2)+C C为常数
拆分有哪些公式呢
对分子做改变:x-2+2，x+1-1。
然后x就被消除掉了，接着就可以直接用公式得出答案:2/3ln|x-2|-1/3ln|x+1|+C
