Question

高中数学：已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，则（　　）

A．f（-25）＜f（11）＜f（80）
B．f（80）＜f（11）＜f（-25）
C．f（11）＜f（80）＜f（-25）
D．f（-25）＜f（80）＜f（11）
解析：由f（x）满足f（x-4）=-f（x）可变形为f（x-8）=f（x），得到函数是以8为周期的周期函数，则有f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3），再由f（x）在R上是奇函数，f（0）=0，得到f（80）=f（0）=0，f（-25）=f（-1），再由f（x）在区间[0，2]上是增函数，以及奇函数的性质，推出函数在[-2，2]上的单调性，即可得到结论．

为什么由f（x）满足f（x-4）=-f（x）可变形为f（x-8）=f（x）？请解释这一步

Answer 1

在
f(x-4)=-f(x) (1)
中，用 x-4替换x，得
f(x-8)=-f(x-4) (2)
对比 （1）（2）得
f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)

追问

为什么要用x-4代替x？其他的不可以吗

追答

其他的不行！
用x-4替换，是为了替换前后有联系，从而得出结论。
比如：若已知 f(x+3)=-f(x)，则要用 x+3去替换x，得 f(x+6)=-f(x+3)

追问

如何判定一个周期函数的周期数呢？最好举些例子，谢谢

追答

当然是用定义判断f(x+T)=f(x)成立。上面用的是迭代法。下面再举一个例子。
若 f(x+2)=1/f(x)，证明：f(x)是周期函数。
证：在 f(x+2)=1/f(x) 中，用 x+2替换x，得
f(x+4)=1/(f(x+2)
对比条件，得 f(x+4)=1/f(x+2)=1/[1/f(x)]=f(x)
从而 f(x)是以4为周期的周期函数。

Answer 2

同意上述说法 可以考虑代几个具体数字理解一下