Question

如图所示,在△ABC中,已知AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B)。

当点A沿AE或AE延长线上时，仍向BC作垂线，垂足为D，还有∠EAD＝二分之一（∠C－∠B）的结论吗？有，请证明。

Answer 1

（1）证明：
∵AD⊥BC
∴∠C+∠CAD＝90
∴∠CAD＝90-∠C
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C）
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∴∠EAD＝∠CAE-∠CAD
＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C
＝（∠C-∠B）/2

（2）因为FD⊥BC
所以，∠EFD=90°-∠FED
而，根据三角形的外角等于不相邻的内角之和，有:
∠FED=∠B+∠BAE
而，已知AE为∠BAC的平分线
所以，∠BAE=∠A/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+(∠A/2)]
而，∠A+∠B+∠C=180°
所以，∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2

（3）结论成立！
因为FD⊥BC
所以，∠EFD=90°-∠FED
而，∠FED与∠AEC为对顶角，所以：∠FED=∠AEC
而，根据三角形的外角等于不相邻的内角之和，有:
∠AEC=∠B+∠BAE
而，已知AE为∠BAC的平分线
所以，∠BAE=∠A/2
所以，∠AEC=90°-[∠B+(∠A/2)]
而，∠A+∠B+∠C=180°
所以，∠A=90°-(∠B+∠C)/2
所以，∠EFD=90°-[∠B+90°-(∠B+∠C)/2]=(∠C-∠B)/2

追问

你答了三问，这三个问题是什么？谢谢回答

追答

点连接看啊。

追问

哦，谢谢

Answer 2

解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=1/2 ∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC=1/2 [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD=1/2 [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=1/2 （∠C-∠B）．

Answer 3

求过程，谢谢~！ 1、∠DAE=1/2∠BAC-∠CAD =1/2（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C） =1/2（180°-45°-65°）-（90°-65°） =10°