Question

高中数学函数的单调性

已知函数f(x)，x∈R，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x1＜0，x2＞0且x1＋x2＜－2，试比较f(－x1)与f(－x2)的大小关系．
解答：
解：∵x1＜0，x2＞0，x1＋x2＜－2，∴－x1＞2＋x2＞1，即－x1，2＋x2∈[1，＋∞)，又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)＞f(2＋x2)，又由f(1＋x)=f(1－x)，得f(2＋x2)=f[1＋(1＋x2)]=f[1－(1＋x2)]=f(－x2)．
∴f(－x1)＞f(－x2)．

请解释每一步的来历

Answer 1

x1＜0，x2＞0，x1＋x2＜－2，∴－x1＞2＋x2＞1，即－x1，2＋x2∈[1，＋∞)，又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)＞f(2＋x2)，到这为止应该不用解释的吧？就是不等号左右变动而已。
然后将f(1＋x)=f(1－x)中的x换成1+x2，就是替换下，两边同时替换，等式不变，便得到f[1＋(1＋x2)]=f[1－(1＋x2)]，这个好理解哦，然后你f[1＋(1＋x2)=]f(2＋x2），f[1－(1＋x2)]=f(－x2)，这个更不用解释，这里面的难点就是在这个地方拼凑一个f(－x2)，只要拼凑了它，问题全部解决了，到此你应该得到了f(2＋x2)=f(－x2)，而前面有f(－x1)＞f(2＋x2)，根据不等式的传递性，得到∴f(－x1)＞f(－x2)．
其实这个题目很简单，方法也不一定唯一，关键是看你如何拼凑出最后的一个不等式的两边就可以了。你可以尝试下其他拼凑，不难的！

这题用对称性做更简单！

追问

如何用对称性做？请给出详细步骤，谢谢

追答

∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴函数关于x=1对称，∴f(x)在[1，＋∞]上为增函数，在[—∞，1]上为减函数。
∵x1＜0，x2＞0且x1＋x2＜－2，∴—x1>x2+2∴f(－x1)＞f(2+x2),
根据对称性，f(2+x2）=f(－x2)．
∴f(－x1)＞f(－x2)．

Answer 2

x1＜0，x2＞0，x1＋x2＜－2（已知）

－x1＞2＋x2（由x1＋x2＜－2两边同+2-x1）

2＋x2＞1（x2>0、2+x2>2>1）

又f(x)在[1，＋∞)上为增函数，∴f(－x1)＞f(2＋x2)，（增函数定义）

又由f(1＋x)=f(1－x)，得f(2＋x2)=f[1＋(1＋x2)]=f[1－(1＋x2)]=f(－x2)．（正常推导）

∴f(－x1)＞f(－x2)．（不等式的传递性）

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Answer 3

已知函数f(x)，x∈R，满足①f(1＋x)＝f(1－x)，②在[1，＋∞]上为增函数，③x1＜0，x2＞0且x1＋x2＜－2，试比较f(－x1)与f(－x2)的大小关系．
解析：∵x1＜0，x2＞0且x1＋x2＜－2
x1＋x2＜-2==>x2+2<-x1，即在X轴上，点x2+2在左，点-x1在右；

∵x2>0，2>1，∴x2+2>1
又-x1>x2+1，∴1<x2+1<-x1，即即－x1，2＋x2∈[1，＋∞)

又f(x)在[1，＋∞)上为增函数
∴f(-x1)>f(x2+2)
∵函数f(x)，x∈R，满足f(1＋x)＝f(1－x)
一般地说，函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2左右对称，即在X轴上到点(1,0)等距离的点的函数值相等
2+x2-1=1+x2==>1-(1+x2)=-x2
∴点2+x2关于点（1，0）对称的点为-x2 ==>f(2+x2)=f(-x2)
∵f(-x1)>f(x2+2)
∴f(-x1)>f(-x2)

Answer 4

x1+x2<-2→x2+2<-x1 x2>0→x2+2>x2+1>1→x2+2>1 所以1<x2+2<-x1