Question

线性代数（二次型化为规范型问题）

问题一：二次型化为规范型，是不是一般都要先化为标准型, 再通过标准型化为规范型呀?还是二次型可以直接化为规范型？

问题二：已知了标准型为何就能确定了正负惯性指数?是根据特征值确定的吗？可是这个已知的标准型不一定是通过正交变换得到呀，比如下边这个题,怎么得到的答案呀？能给出解题过程吗?麻烦了老师

Answer 1

配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值。

例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1；

所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)。

有的二次型可以直接化为规范形，可省去化标准形的过程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，则f=4u^2+v^2-4w^2，这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

概念

线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。

例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。

Answer 2

1. 是的, 一般是先化为标准型
如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单
若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了

2. 已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数
配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值.
例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1
所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)

Answer 3

有的二次型可以直接化为规范形，可省去化标准形的过程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，则f=4u^2+v^2-4w^2，这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。

由标准形知道正、负特征值的个数，即可直接写出规范形，至于标准形是用可逆的线性变换还是正交变换得到的，对特征值的正负有影响吗？
这个二次型的矩阵是对角矩阵，特征值为-2,3,4，两正一负，所以规范形即得

Answer 4

问题1，二次型可以直接化为规范型。问题2.因为正负惯性指数是由标准型各项的系数决定的，所以一目了然。是根据特征值确定的，因为从二次型到标准型用代数的方法做，得到的标准型的各项系数就是特征值。因为标准型的系数都是合同的，所以是······