Question

【高中数学】函数相关。已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b为实数）

已知函数f（x）=x^2+ax+b（a，b为实数）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。
(I)证明：当|a|大于等于2时，M（a，b）大于等于2;
(II)当a，b满足M（a，b）小于等于2，求|a|+|b|的最大值.

Answer 1

f(x)=ax+b
x∈[-1,1]
a>0 ,f(x)单调递增
最大值=a+b，最小值=-a+b
a>0 ,f(x)单调递减
最大值=-a+b，最小值=a+b
∴M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)
当|a|≥2 时即，a≥2或a≤-2
a≥2，b≥0 时 |a+b|=a+b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≥2，b≤0 时 |-a+b|=a-b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≤-2，b≤0 时 |a+b|=-a-b≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
a≤-2，b≥0 时 |a-b|=b-a≥2→M(a,b)=max(|-a+b|，|a+b|)≥2
∴M(a,b)≥2 恒成立