Question

函数g（x）可导，曲线y=f（x）和y=g（x）的图形关于直线y=x对称且已知f（3

函数g（x）可导，曲线y=f（x）和y=g（x）的图形关于直线y=x对称且已知f（3）=2，g'（2）=√3，φ(x)=g[1/2f²(3x)] 则φ'(1)=？

Answer 1

∵曲线y=f（x）和y=g（x）的图形关于直线y=x对称
∴ y=f（x）和y=g（x）互为反函数
由f（3）=2，得到g(2)=3
∵φ(x)=g[1/2f²(3x)] ,
∴φ(1)=g[1/2f²(3)] = g(1/2*2²) =g(2)
φ(x)=g[1/2f²(3x)]
φ(x)=g(u),u=1/2v²,v=3x
φ'(x)=g'[u]*2/2f(3x)*3
φ'(1)=g'（2）*f(3)*3=6√3，
注：解题时注意φ(x)=g[1/2f²(3x)]是一复合函数

追问

不对
正解
φ'(x)=g'[½f²(3x)]·[½2f(3x)·f'(3x)]·3
φ'(1)=g'(2)·f(3)·f'(3)·3
原函数的导数和反函数的导数是倒数
f'(3)=1/g'(2)=1/√3
∴φ'(1)=√3·2·1/√3·3=6