Question

一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC，而不是C，这不会对结果产生影响吗？

难道这个常数C可以写成任何形式吗？

Answer 1

C表示任意一个常数，lnC也表示任意一个常数，所以也是可以的。任何一个能表示任意一个常数的表示形式都是允许的，对结果都不会产生影响。但是，在解一阶非齐次线性微分方程的通解时，为什么会出现一个lnC哪？
这是因为，一阶非齐次线性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x),往往不好直接解出，而用常数变易法，先求对应的齐次线性微分方程的通解，然后把常数变易为函数，代入非齐次线性微分方程求的一个特解，最后把对应的齐次线性微分方程的通解加上求得的特解，作为非齐次线性微分方程的通解。
但是对应的齐次线性微分方程为：y'+P(x)y=0 解时变成：
dy/y=-P(x)dx 两端积分得：lny=-∫P(x)dx
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+C， 则 y=e^[-R(x)+c] , 不但形式复杂，而且不便于常数变易。
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+lnC，则y=Ce^[-R(x)]，不但形式紧凑，而且便于常数变易。因为C(x)与e^x乘积型不仅好微分，而且微分后结果简单。这就是不取常数C,而取lnC的原因。

Answer 2

嗯，只要能表示一个常数就行，一般是取最简洁的一种表示方法