Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一点P,满足|PF1|+|PF2|=4...

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一点P,满足|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程。(2 )过F1且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A,B两点。若△AF2B的面积为12√2 /7，求k的值

Answer 1

1. |F1F2|=2 2c=2 c=1
|PF1|+|PF2|=4 椭圆定义 2a=4 a=1
b^21=a^2-c^2=3
椭圆C的方程 x^2/4+y^2/3=1

2. F1(-1,0)
设直线l斜率为k
方程为 y=k(x+1)
△AF2B被x轴分成两个三角形，△AF1F2,△BF1F2
设A(x1,y1) B(x2,y2)
S△AF1F2=1/2*|F1F2|*|y1|
S△BF1F2=1/2*|F1F2|*|y2| y1,y2异号
所以S△ABF2=1/2*|F1F2|*|y1-y2|=|y1-y2|
联立
y=kx+k
3x^2+4y^2=12 （1）
x=y/k-1 代入 （1）
3(y^2/k^2-2y/k+1)+4y^2=12
(3+4k^2)y^2-6ky-9k^2=0
y1+y2=6k/(3+4k^2) y1y2=-9k^2/(3+4k^2)
|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[36k^2/(3+4k^2)+36k^2/(3+4k^2)]
所以
√[36k^2/(3+4k^2)^2+36k^2/(3+4k^2)]=12√2 /7
36k^2[1+3+4k^2]/(3+4k^2)^2=288/49
k^2(1+k^2)/(3+4k^2)^2=2/49
17k^4+k^2-18=0
(17k^2+18)(k^2-1)=0
17k^2+18≠0
k^2=1
k=1或k=-1

Answer 2

面积为4√3，∠F1PF2=120°，求椭圆C的方程 设|PF1|=m,|PF2|= 4c^2=4a^2-mn,(1) △PF1F2周长=2c+2a=4+4√2， a+c=2+2√

Answer 3