Question

如图 ，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE⊥BD的延长线于E

（1）若AE=1/2BD，试说明BD是否平分∠ABC。
（2）如果BD平分∠ABC，试说明AE于BD具有什么关系
（3）若点D是AC延长线上一点，且AE⊥BD的延长线于E，BD平分∠ABC的外角，试做出图形，并说明（2）中结论会改变吗？

Answer 1

如图，延长AE、BC交于F，

∵AE⊥BE，∠ACB=90°

∴∠CAF+∠ADE=∠CBD+∠CDB=90°，

又∵∠ADE=∠CDB，

∴∠CAF=∠CBD，

又∵∠ACF=∠BCD=90°，AC=BC,

∴△ACF≌△BCD，

∴AF=BD

 

(1)若AE=BD/2，则AE=AF/2，

即E是AF中点，又∵BE⊥AF，

∴BA=BF（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）

∴BD平分∠ABC（等腰三角形三线合一）

 

（2）若BD平分∠ABC，

又∵∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE,

∴△ABE≌△FBE，

∴AE=FE=AF/2=BD/2

 

(3)如图（抱歉。少了“连结D'F'”）

由△ACF'≌△BCD'

和△AD'E'≌△F'D'E'

可得（2）中结论仍然成立

Answer 2

1.延长AE、BC交点为F
因为∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE⊥BD
∠ADE=∠BDC(对顶角）
∠EAD=∠CBD
AC=BC
所以△ACF与△BCD全等，AF=BD
若AE=1/2BD，则AE=1/2AF,BE垂直平分AF
所以BD平分∠ABC。
2.AE于BD互相垂直，且AE=1/2BD
证明方法与（1）相同，还是△ACF与△BCD全等，AF=BD
根据垂直平分线性质AE=1/2AF，所以AE=1/2BD
3.结论不会改变，证明方法：延长AE、CB交点为F
同理，证△ACF与△BCD全等。可得结论AE于BD互相垂直，且AE=1/2BD
图不会传，自己画吧，希望能帮上你