Question

如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速

如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,当AM：PM=2：3时，求PC的长

Answer 1

①,∠CMQ不变∠CMQ=60°,

AP=BQ,AB=AC,∠ABQ=∠CAP=60°,∴△ABQ≌△CAP,∠BAQ=∠ACP

∠CMQ=∠MAC+∠ACP=∠MAC+∠BAQ=∠BAC=60°

②,由题意可知，∠BPQ=30°,AP=BQ,BP=2BQ=2AP,设运动时间为t秒，则AP=t，BP=2t，

∴AP+BP=4,即t+2t=4，t=4/3，∴t=4/3时，△PBQ是直角三角形。

③，不变，∠CMQ=120°

同理△PBC≌△QCA,∠BCP=∠MCQ=∠CAQ,

∴∠CMQ=∠CAQ+∠ACM=∠ACM+∠MCQ=∠ACQ=180°-60°=120°

追问

（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,当AM：PM=2：3时，求PC的长

追答

④根据⑶知，∠Q=∠P,∠MCQ=∠BCP,∴△BPC∽△MQC,∠PBC=∠CMQ=120°∴∠AMC=∠PAC=60°,∠P=∠P.△APC∽△MPA,∴AM:PM=AC:AP,2:3=4:AP,AP=6
∴PC^2=AP^2+AC^2-2AP·ACcos60°，PC^2=36+16-24=28.
∴PC=2√7

Answer 2

(1) ∠CMQ=60
因为点P和点Q的速度相同，所以AP=BQ,BP=CQ,通过等边△ABC内部的关系，可以得出△APC与△BQA全等，这样∠BAQ=∠ACP,∠CMQ=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=∠BAC=60
(2)当AP=4/3cm或AP=8/3cm时，△PBQ是直角三角形，就是运动4/3s或8/3s时△PBQ是直角三角形。
(3)∠CMQ=120
全等△ABC得到AC=BC,点P和点Q速度相同，所以PB=QC,j加上全等三角形得到△PBC与△QCA全等，则∠BPC=∠CQA,∠CAQ=∠BCP,由于对角关系，∠BCP=∠QCM,所以∠CMQ=∠PAM+∠APC=∠BAC+∠CAQ+∠AQC=60+∠QCM+∠AQC=60+180-∠CMQ,所以∠CMQ=120

追问

（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,当AM：PM=2：3时，求PC的长

追答

根据上面的解答可以知道∠APM=∠AQB,从而得到△ABQ与△AMP相似，则AM:PM=AB:BQ=2:3，因为AB=BC=4，所以CQ=2，
过A点作BC的垂线交BC于点D，由等边△ABC得AD=2√3 DQ=4 则AQ=2√7
△BPC与△CQA全等，则PC=AQ=2√7

Answer 3

解:
(1) ∠CMQ的角度是固定的，是60°，证明如下：
点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，这PA=BQ始终成立的，

而∠B=∠BAC=60°，BA=AC，根据边角边全等三角形定理知：
△QBA全等于△PAC，并由边AB和AC可知，

△QBA可以顺时针旋转60°得到△PAC，

故没两条相对应的边的夹角都是旋转角60°，
即∠CMQ的角度是固定的，是60°
（2）此处用分析法：要使△PBQ是直角三角形，即是使∠BQP=90°，使△PBQ满足PB=2BQ，
而PA=QB,
即要使△PBQ是直角三角形，需使得PB=2PA，则当PA=4/3时满足要求

故当P、Q运动4/3s后△PBQ是直角三角形
（3）类似的，∠CMQ也是固定的，是120°，证明和第一小题相同
只是旋转角变为了120°而已，
PB=CQ，∠PBC=∠QCA，BC=CQ,(SAS)
△PBC全等于△QCA,

△PBC可以逆时针旋转60°得到△QCA，
故没两条相对应的边的夹角都是旋转角60°，
即∠CMQ（钝角）的角度是固定的，是180°-60°=120°

追问

（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M,当AM：PM=2：3时，求PC的长

Answer 4

解：（1）∠CMQ=60°不变．
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=43；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83；
∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．

（3）∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°

Answer 5

（3））∠CMQ=120°不变．
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120