Question

已知函数f(x)=x^5+ax^3-bx+1

当x=±1时取得极值，且极大值比极小值大4 求a,b的值 （还有别的小问）
我的求法是：f'（x）=5x^4+3ax^2+b =5(x^2)^2+3a(x^2)+b=0 已知（±1）^2=1 所以
我想 就可以用x1+x2= -b/a =2 =-3a/5===>a= -10/3 不过反正我的是错的。。求解释
已知函数f(x)=x^5+ax^3+bx+1 我抄错了

Answer 1

取极值时,需导数f'(x)=5x^4+3ax^2+b=0
将x=±1代入,得5+3a+b=0
将x=±1代入原式,得|1+a+b|=2
联立两式，得a=-3,b=4或a=-1,b=-2
将a=-3,b=4代入原式，得f(x)=x^5-3x^3+4x+1
将x=±1代入,得极大值为3,极小值-1 f'(x)=5x^4+3ax^2+b
仅当x=±1时取得极值, 则有两种情况：
1）5y^2+3ay+b=0有重根y=1, 此时2=-3a/5, b/5=1, 得：a=-10/3, b=5
f(1)=2+a+b=2-10/3+5=11/3 为极大
f(-1)=-a-b=-5/3 为极小
f(1)-f(-1)=16/3<>4, 因此不符
2) 5y^2+3ay+b=0有一个正根y=1, 及另一个负根。此时:5+3a+b=0,
两根积=b/5<0, 即b<0, a=(-b-5)/3
f(1)=2+a+b=2+(-b-5)/3+b=(2b+1)/3为极小
f(-1)=-a-b=(b+5)/3-b=(-2b+5)/3, 为极大
f(-1)-f(1)=(-4b+4)/3=4， 得：b=-2, 因此a=-1
因此结果只能为：a=-1, b=-2

追问

将x=±1代入原式,得|1+a+b|=2 丨1+a+b+1-（-1-a-b+1）丨=丨2(a+b)丨=1？？

追答

假如这个未知数是x的平方的2次方程，它有一个解为1即能保证题设。因为X的平方加上一个正数必大于0，只有另一个为0，而这个的解为1即可。因此要做出此题要这样|f（1）-f(-1)|=4,和你写的导数为0。这两个方程联立求出两组值a=-3；b=4和a=-1；b=-2；由于上述的讨论，我们可以知道在倒数方程里X1*X2=b/5<0，因为如果大于0就会出现四个极值，故b<0，排除第一组值，得a=-1；b=-2

Answer 2

f'(x)=5x^4+3ax²-b，
当x=±1时取得极值，说明x=±1是方程f'(x)=0的两个根
那么5+3a-b=0①
且f'(x)=k(x-1)(x+1)，其中k是一个大于0的数
那么当-1<x<1时，f'(x)<0；当x>1，或x<-1时，f'(x)>0
所以f(x)极大值=f(-1)=-1-a+b+1=b-a，
f(x)极小值=f(1)=1+a-b+1=a-b+2
所以f(x)极大值- f(x)极小值=b-a-(a-b+2)=2b-2a-2=4②
联立①②，得：a=-1，b=2

追问

且f'(x)=k(x-1)(x+1)，其中k是一个大于0的数这个是什么来的啊？

追答

因为f(x)只有在x=±1处有极值，说明x=±1是方程f'(x)=5x^4+3ax²-b=0的两个根，x²=1，
5x^4+3ax²-b可以把它分解成(x²-1)和(5x²+C)的乘积，只有两个各，说明5x²+C=0没有根，
那么C>0，所以5x²+C就是正数啊

Answer 3

不是告诉你了么。仔细看：

x1+x2=0，x1x2=-1啊~~~~~~~~~~~~~~

不过你直接代入就好了啊f'（1）=0，f'（-1）=0

Answer 4

你的求法中f'（x）=5x^4+3ax^2-b！！！！！

Answer 5

你的方法明显错了，因为这里的未知数是x的平方，它的默认范围是大于等于0，故假如这个未知数是x的平方的2次方程，它有一个解为1即能保证题设。因为X的平方加上一个正数必大于0，只有另一个为0，而这个的解为1即可。因此要做出此题要这样|f（1）-f(-1)|=4,和你写的导数为0。这两个方程联立求出两组值a=-3；b=4和a=-1；b=-2；由于上述的讨论，我们可以知道在倒数方程里X1*X2=b/5<0，因为如果大于0就会出现四个极值，故b<0，排除第一组值，得a=-1；b=-2

追问

我比较笨没听懂不过看来。。你数学肯定很好

追答

你可以这样来看，我举个例子X的平方-3X-4=0，这个一元二次方程的解是X=-1或X=4，但是要是（X平方）的平方-3（X平方）-4=0，这个方程的解就是(X平方)=4,因为（X平方）是大于0的，因此在前面的因式分解里（X平方）+1不等于0，舍去，只有(X平方)=4。你上面用的方法是韦达定理。他只能用于一元二次方程，因为在这种方程里X可以取所有的实数，故解值可以是负数。如上面例子的-1.而你用韦达定理是将（X平方）看成未知数，它是有范围的：大于等于0解值不可以是负数。你可以将（X平方）的解值代入，由于X=1或X=-1，因此（X平方）=1代入，可以知道必有因式（X平方）-1。但是你不知道另一个因式，可以猜测它是（X平方）+k；k大于0。这里k为什么不能小于0呢（其实可以是-1，这样就是完全平方式了）。要是其他的负值就表示X的解会有4个。极值会在这4点取得了，与题意不符。再来说，你的方法是韦达定理，它要把（X平方）看成未知数，而你只将X的值代入，不是（X平方）的，显然错了。通过前面我的叙述可以知道这题将（X平方）用韦达定理代入不具有可操作性。不可行

Answer 6

晕额

追问

啥哦。。

追答

将x=1 -1 代入 相减=4 a=1 b=-1

追问

不可能吧。 丨(1)+a+b+1+1+a+b-1丨=丨2(a+b)+3丨=4 ==> a+b=1/2 你的步骤是》？？

追答

失败额

追问

...我抄错题目了。

追答

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