Question

设实数x， y满足x²+2xy-1=0,则x²+y²的最小值为什么

Answer 1

设实数x， y满足x²+2xy-1=0,则x²+y²的最小值是什么？
解：由 x²+2xy-1=0得y=(1-x²)/2x，故：
u=x²+y²=x²+[(1-x²)/2x]²=x²+(1-x²)²/(4x²)=(5x^4-2x²+1)/(4x²)
=5x²/4-(1/2)+1/(4x²)≥2√(5/16)-(1/2)=(√5)/2-(1/2)=[(√5)-1]/2;
当且仅仅当5x²/4=1/(4x²)，即x^4=1/5，x²=1/√5；y=±(√5-1)/[2×5^(1/4)]
时等号成立。
即当x=±1/5^(1/4)，y=±(√5-1)/[2×5^(1/4)]时u=x²+y²获得最小值[(√5)-1]/2。