Question

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体。

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1，H是B1C1的中点。求证（1）：E，B，F，D1四点共面（2）求证：平面A1GH//平面BED1F

Answer 1

∵ ABCD-A1B1C1D1为正方体，FC1=GB1，
∴ D1、F分别是A1、G在平面CC1D1D上的投影，即D1F为A1G在平面CC1D1D上的投影，
∴ D1F∥A1G。
已知 AE=B1G，所以A1E=GB，根据已知条件，显然A1E∥GB，所以A1G∥EB。
∵ D1F∥A1G，A1G∥EB，
∴ 三条直线A1G、EB、D1F两两平行，所以EB、D1F在同一平面内，E，B，F，D1四点共面。
∵ H 是B1C1的中点，∴ HB1/B1G=BC/CF=1.5，△HB1G和△BCF相似，
∴ HG∥FB
又∵ A1G∥EB，
∴ 平面A1GH//平面BED1F （一个平面内两条相交直线分别和另一平面内两条相交直线平行，则两个平面平行）

Answer 2

证明：(1)连接FG.

∵AE＝B₁G＝1，

∴BG＝A₁E＝2，

∴BG綊A₁E，

∴A₁G∥BE.

又∵C₁F綊B₁G，

∴四边形C₁FGB₁是平行四边形．

∴FG綊C₁B₁綊D₁A₁，

∴四边形A₁GFD₁是平行四边形．

∴A₁G綊D₁F，∴D₁F綊EB，

故E、B、F、D₁四点共面．

(2)∵H是B₁C₁的中点，∴B₁H＝.

又B₁G＝1，＝.

又＝，且∠FCB＝∠GB₁H＝90°.

∴△B₁HG∽△CBF，

∴∠B₁GH＝∠CFB＝∠FBG.

∴HG∥FB.

又由(1)知，A₁G∥BE，

且HG∩A₁G＝G，FB∩BE＝B，

∴平面A₁GH∥平面BED₁F.