Question

已知函数f（x）定义域是 （0，+∞），且满足f（xy）=f（x） +f（y

已知函数f（x）在定义域 （0，+∞）上是增函数，且满足f（xy）=f（x） +f（y），f（2）=1, (1)求f(8) (2)解不等式f(x)-f(x-2)>3

Answer 1

(1)
f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)
且f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)
故，原式=1+(1+1)=3
(2)
f(x)>f(x-2)+3
由(1)得，3=f(8) (并且原函数在定义域范围内增，那么当且仅当x=8时，f(x)=3)
故原不等式可化为，f(x)>f(x-2)+f(8)
即f(x)>f(8*(x-2))
又由于f(x)在定义域范围内是增函数
故，x>8*(x-2) 且 x-2>0
得到 2<x<16/7
则解集为（2,16/7）

Answer 2

1、因f(xy)=f(x)+f(y) 所以有：
f(8)=f(4x2)=f(4)+f(2)
而：f(4)=f(2x2)=f(2)+f(2)=2f(2)
所以可得：
f(8)=3f(2)=3

2、f(x)-f(x-2)>3 可得：
f(x)>f(8)+f(x-2) 即：
f(x)>f[8(x-2)]
因：f（x）在定义域 （0，+∞）上是增函数，所以有：
x>0
x-2>0
x>8(x-2)
综上解得：2<x<16/7

Answer 3

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，试解不等式f（x）+f（x-2）＜3．
解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，由f（x）+f（x-2）＜3得f[x（x-2）]＜f（8）又因为f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数所以x（x-2）＜8 解得，-2＜x＜4．
所以不等式f（x）+f（x-2）＜3的解集为{x|2＜x＜4}．
答案：{x|2＜x＜4}．