Question

已知函数f(x)=|e^x-bx|,其中e为自然对数的底 （1）当b=1时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程

（2）若函数f(x)只有一个零点，求实数b的取值范围 （3）当b>0时，判断函数f(x)在区间（0,2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围

Answer 1

（1）记g(x)＝ex－bx．当b＝1时，g¢(x)＝ex－1．当x＞0时，g¢(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上为增函数．又g(0)＝1＞0，所以当x∈(0，＋∞)时，g(x)＞0．所以当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝∣g(x)∣＝g(x)，所以f¢(1)＝g¢(1)＝e－1．所以曲线y＝f(x)在点(1，e－1)处的切线方程为： y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x． ……………… 4分（ （2）解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解．因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝． ………………………… 6分令h(x)＝，由h¢(x)＝＝0得x＝1．当x∈(1，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)∈(e，＋∞)；当x∈(0，1)时，h¢(x)＜0，h(x)单调递减，h(x)∈(e，＋∞)；所以当x∈(0，＋∞)时，方程b＝有且只有一解等价于b＝e．………… 8分当x∈(－∞，0)时，h(x)单调递减，且h(x)∈(－∞，0)，从而方程b＝有且只有一解等价于b∈(－∞，0)．综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}． …………………………… 10分解法二 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解，即ex＝bx有且只有一解．也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点． …………………… 6分 如图1，当b＜0时，直线y＝bx与y＝ex总是有且只有一个公共点，满足要求． ………………………… 8分如图2，当b≥0时，直线y＝bx与y＝ex有且只有一个公共点，当且仅当直线y＝bx与曲线y＝ex相切．设切点为(x0，e)，根据曲线y＝ex在x＝x0处的切线方程为： y－e＝e(x－x0)．把原点(0，0)代入得x0＝1，所以b＝e＝e． 综上所述，b的取值范围为(－∞，0)∪{e}．

追问

不好意思啊，你没有图吗，而且ex－bx＝0是怎么算出来的？

追答

g(x)＝ex－bx 是f(x) 的导数
ex＝bx有且只有一解．也即曲线y＝ex与直线y＝bx有且只有一个公共点
讨论当b＜0时，当b≥0时。。。。

追问

解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一个解．即方程ex－bx＝0有且只有一个解．因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝． b=什么呀，h(x)=什么呀

追答

b=ex/x h(x)是 ex/x 的导数

Answer 2

看来上面是标准答案