Question

已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx(a≠0,x∈R)为奇函数,且在x=1处取得极大值2 1求解析式 2g(x)=f(x)/x+(k+1)lnx,

y=g(x)的单调区间
3在(2)的条件下，当k=2时，若函数g(x)图像在直线y=x+m下方，求m
重在第三问

Answer 1

1.f奇，b=0,
f'(x)=3ax^2+c,
f'(1)=3a+c=0,
f(1)=a+c=2,
解得a=-1,c=3.f(x)=-x^3+3x.
2.g(x)=-x^2+3+(k+1)lnx(x>0),
g'(x)=-2x+(k+1)/x=-2[x^2-(k+1)/2]/x,
k<=-1时g'(x)<0,g(x)↓；
k>-1时0<x<√[(k+1)/2],g'(x)>0,g(x)↑；x>√[(k+1)/2],g'(x)<0,g(x)↓。
3.函数g(x)图像在直线y=x+m下方，
<==>x+m-(-x^2+3+3lnx)>0,x>0,
<==>m>-x^2-x+3+3lnx,记为h(x),
h'(x)=-2x-1+3/x=(-2x^2-x+3)/x=-(x-1)(2x+3)/x,
0<x<1时h'(x)>0,h(x)↑；x>1时h'(x)<0,h(x)↓。
∴h(x)|max=h(1)=1,
∴m>1,为所求。

Answer 2

⑴奇函数，则b=0,
在x=1处取得极大值2,则f(1)=2,f'(1)=0,解得a=-1,c=3
解析式f(x)=-x³+3x
⑵g(x)=-x²+3+(k+1)㏑x, (x>0) ,
求导，g'(x)=(k+1)/x-2x,令g'(x)=0,得x²=(k+1)/2, 讨论
①k≤-1时，g'(x)<0,g(x)在(0,﹢∞)上单调减
②k>-1时，令g'(x)>0,得0<x<[（k+1)/2]½,
令g"(x)<0,得x>[（k+1)/2]½,即g(x)在（0，[（k+1)/2]½ )单调增，在（ [（k+1)/2]½，﹢∞）单调减
⑶由题意，即g(x)<x+m对x>0恒成立,令h(x)=g(x)-x, (x>0)求h(x)最大值
h'(x)=3/x-2x-1,令h'(x)>0,得0<x<1,令h'(x)<0,得x>1,
则当x=1时，h(x)取得最大值h(1)=1,
则m>1

Answer 3

由奇函数得，b=0。d把x=1代入，得 a+c=1,再对函数求导数，令导函数等于零，得3a+c=0