Question

如图所示，已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD,PN⊥BE，垂足分别为M、N.求证：

如图所示，已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD,PN⊥BE，垂足分别为M、N.求证：（1）PM=PN;（2）点P在∠B的平分线上.

Answer 1

证明:(1)作PF垂直AC于F.
∵PA平分∠DAC.
∴PM=PF.(角平分线上的点到角两边距离相等)
同理可证:PN=PF.
∴PM=PN.(等量代换)
(2)∵PM=PN(已证).
∴点P在∠B的平分线上.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)

Answer 2

过点P作PO⊥AC
因为AP平分∠DAC，PM⊥AD
所以PO＝PM　　　（角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等）
同理：PO＝PN
所以PM＝PN

Answer 3

由p向ac做垂线根据角平分法则得pm=pk=pn