Question

求定积分，如图？

感觉是用伽马函数求，但求不出来，答案是2/入，求详细过程谢谢

Answer 1

详细过程是，设t=λx，原式=(1/λ)∫(0,∞)t²e^(-t)dt。
根据伽玛函数Γ(α)=∫(0,∞)[t^(α-1)]e^(-t)dt，α>0时收敛，且Γ(α)=(α-1)Γ(α-1)、α为自然数时，Γ(α)=(α-1)!，
∴原式=(1/λ)Γ(3)=(1/λ)(2!)=2/λ。
供参考。

Answer 2

跟伽马函数无关，用分部积分法可以算

Answer 3

令x = asinθ，dx = acosθ dθ，√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = √(a²cos²θ) = acosθ
∫ x²√(a² - x²) dx
= ∫ a²sin²θ • acosθ • acosθ dθ
= a⁴∫ sin²θcos²θ dθ
= a⁴∫ (1/2 • sin2θ)² dθ
= (a⁴/4)(1/2)∫ (1 - cos4θ) dθ
= (a⁴/8)(θ - 1/4 • sin4θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)sinθcosθ(cos²θ - sin²θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)(x/a)[√(a² - x²)/a][(a² - x²)/a² - x²/a²] + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) + (x/8)(2x² - a²)√(a² - x²) + C
代值进去
=a⁴/8*π/2