Question

这个题该如何证明呢？

这个题该如何证明呢？麻烦写的详细一点~~

Answer 1

因为数列xn有界
那么，存在M>0，对任意n∈N+，都有|xn|≤M
又lim yn=0,n→∞
那么，对任意ε>0，存在N>0，当n>N时，就有|yn-0|<ε
那么，对上述ε>0，存在M>0，存在N>0，当n>N时，就有|xn*yn|<Mε，即|xn*yn-0|<Mε
由极限的定义得，
lim xnyn=0,n→∞
有不懂欢迎追问

追问

这是同济第六版上的习题，我想问您在最后得到的|xn*yn|0
由于lim yn=0
故对ε1=ε/M>0,存在一个N
当n>N时，就有|yn|<ε1=ε/M
从而有|xnyn-0|=|xn|*|yn|<M*ε/M=ε
成立
这其中关于ε1的取值那里不懂怎么回事......

追答

1.那个Mε不是两个任意值相乘
注意到，M是已经取定的，只有ε是任意小，那么任意小乘以定值当然还是任意小
因此不会扩大范围
2.既然在某项之后的所有|yn|会任意小
对于ε（会任意小），当然有ε1=ε/M>0也是任意小了
特别要注意这里的ε1就相当于平常定义的ε
说明白点，因为任意小乘以定值当然还是任意小
所以在定义ε1的时候，可以将ε1定义为cε，c为非零定值

为什么可以这样？？
应该首先了解ε-N语言说的是什么意思：
若数列an收敛到某一定值a，那么an必然会从某一项开始，使得以后的每一项都十分接近a，也就是说，每一项与a的差距会任意小（无限接近），用数学表达式来写，就是
对任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|an-a|<ε
从上面解释就可以明白，只需要|an-a|任意小，定义就成立，至于是怎样任意小，我们并不关心
因此就有ε1=ε/M的写法
当然，到了后面你就会发现几乎所有的类似的证明题，都要自己构造ε1=cε，c为非零定值

对比我和答案的做法
其实答案是为了严格地与ε-N语言对应才会这样
我的做法其实也没有错（我觉得应该会比答案容易理解一些吧），最终其实还是和答案一样
而我们二者都要用到：任意小乘以定值当然还是任意小
这东西太有用了，应当铭记

我是数学系的，有不懂可以问我
有不懂欢迎追问