Question

解微分方程组？

这个是怎么算出来的呀 可以写一下详细的过程嘛

Answer 1

求微分方程 f''(x)-f(x)=e^x 的通解；
解：因为 y=f(x)；为更清楚一点，把方程改写成 y''-y=e^x；
齐次方程 y''-y=0的特征方程 r²-1=(r+1)(r-1)=0的根为：r₁=-1；r₂=1；
故特征方程的通解为：y=c₁e^(-x)+c₂e^x..............①；
设其特解为：y*=axe^x；于是 y*'=ae^x+axe^x=a(1+x)e^x;
y*''=ae^x+a(1+x)e^x=(ax+2a)e^x.............②;
将①②代入原式并消去e^x得：(ax+2a)-ax=2a=1；故a=1/2；
于是得特解：y*=(1/2)xe^x;

∴通解：f(x)=c₁e^(-x)+c₂e^x+(1/2)xe^x;
再代入初始条件求出c₁，c₂;

追问

谢谢 我懂啦