Question

已知函数F(X+1)是奇函数,F(X-1)是偶函数,且F(0)=2,则F(2012)=

已知函数f （x+1）是奇函数，f （x-1）是偶函数，且f （0）=2，则f （2012）=（　　）做这种类型的题目的思路是什么?

Answer 1

解：函数f （x+1）是奇函数，有 f（-x+1）=- f（x+1）。即f（x+1)= - f（-x+1）
f （x-1）是偶函数，有f（-x-1）=f（x-1)
利用上述关系有：
f(x)=f[(x-1)+1]= -f[-(x-1）+1]= - f[-x+2]
= - f[-(x-3)-1]=- f[(x-3)-1]=- f[x-4]
= -f[(x-5)+1]=- {- f(-(x-5)+1）}=f（-x+6）
=f[-(x-7)-1]=f[x-7)-1]=f(x-8)
可见，8是函数的周期
f（2012）=f（251×8+4）=f(4)
由于f （x-1）是偶函数，所以f（4）=f（5-1）=f（-5-1)=f(-6)=f(-6+8)=f(2)=2

Answer 2

周期