Question

在三角形ABC中𠃋C二90度，AC二4Cm，BC二5cm，点D在BC上，且CD二3cm，现有两个动点P、Q分别从点

A和点B同时出发，其中点P以1cm比s的速度沿AC向终点C移动，点Q以1•25cm比s的速度沿BC向终点C移动，过点p作pE平行BC交AD于E，连接EQ，设动点运动时间为X秒1用含X的代数式表示，AE、DE的长度2当点Q在BD𡿨不包括B、D两点)上移动时，设三角形EDQ面积为ycm平方，求y与运动时间x的函数关系式并写出自变量X的取值范围3当X为何值时，三角形EDQ为直角三角形

Answer 1

（1）通过△AEP∽△ADC，列出比例关系，即可用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）Q在BD上运动x秒后，求出DQ、CP，即可表示y与时间x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（3）通过∠EQP=90°，∠QED=90°，分别通过三角形相似，列出比例关系，求出x的值，说明△EDQ为直角三角形．

 

解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵EP∥DC，∴△AEP∽△ADC，
∴EA/ AD =AP /AC 即EA/ 5 =x/ 4 ，∴EA=(5/ 4 )x，DE=5-5 /4 x
（2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，
当点Q在BD上运动x秒后，DQ=2-1.25x，
则y=1 /2 ×DQ×CP=1 2 (4-x)(2-1.25x)=5 /8  x^2-7 /2 x+4

即y与x的函数解析式为：y=5 8 x2-7 2 x+4，其中自变量的取值范围是：0＜x＜1.6．
（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-x，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC
∴EQ AC =DQ DC ，DQ=1.25x-2
即(4-x)/ 4 =(1.25x-2)/ 3 …解得x=2.5

②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
∴DQ DA =Rt△EDQ斜边上的高/ Rt△CDA斜边上的高 ，
Rt△EDQ斜边上的高：4-x，
Rt△CDA斜边上的高为：12 /5 ．

∴(1.25x-2) /5 =5(4-x) /12 ，
解得x=3.1．
综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形.

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