Question

例6.等腰直角△ABC中,P为BC中点,以P为顶点的直角三角形两边交AB,AC于E.F，连EF，当∠EPF绕点P旋转时。

(点E不与AB重合），△PEF也始终是等腰直角三角形，说明理由。

Answer 1

解：理由如下：
连接PA，
∵PA是等腰△ABC底边上的中线，
∴PA⊥PC（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线吵历、底边上的高互相重合（三线合一））．
又AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代换）．
同理，由PA⊥PC，PE⊥PF
∴∠2=90°-∠APF，∠3=90°-∠APF，
∴∠2=∠3．
由PA是Rt△ABC斜边上的中线，得：
PA=1 /2 BC=PC（直角三角形斜边上的中卜改线等于斜边的一半）．
在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，
∴△PAE≌△PCF（ASA）．
∴PE=PF（全等三角形对应边相等），
因此，△PEF始终是升弊搜等腰直角三角形．

Answer 2

解析：
连接AP，
等腰直角三角形，∠A=90°，
PE⊥埋毁闷PF，∠弯弯EPF=90º
因此，余猛AEPF四点共圆，
故，∠BAP=∠EFP，∠CAP=∠FEP
D是BC的中点，那么AP=BP=PC，
故，∠BAP=∠CAP=45º
那么，∠EFP=∠FEP=45º
因此，三角形PEF始终是等腰直角三角形。

追问

什么叫做四点共圆~

追答

也就是说，四边形AEPF一定有外接圆。
根据外接圆的性质，这个题很简单，
http://baike.baidu.com/view/837557.htm，
这个链接上面很详细，你仔细看看，四点共圆很重要，一定要掌握。

Answer 3

连接AP则AP⊥BC，AP=BP
∵∠EPF＝90º
∴∠APF＋∠APE=90º
∵∠BPE＋∠APE=90º
∴∠局斗尘APF＝∠BPE
又∵∠PBE=∠PAF=45º
AP=BP
∴⊿BPE≌⊿APF
∴PE=PF
∴⊿PEF是等腰直销升角三角形桐禅.