如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，
（1）求证：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由． 展开
证明：
①∵DE∥CB BC⊥AC
∴DE⊥A1D DE⊥CD
∴DE⊥平面A1CD（如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）
∴DE⊥A1C（如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的任何一条直线）
∵A1C⊥CD（已知） 又A1C⊥DE（已证）
∴A1C⊥平面BCDE（如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）
②要求的CM与平面A1BE所成的夹角，就是设法求出CM在平面A1BE上的射影与它的夹角，由于CM在图形上没与平面A1BE直接相交，所以不容易求出它的交角，可以通过平移它，再设法求出它的射影来解决
在平面A1DE上作MN∥DE
∵DE∥BC
∴MN∥BC
由两条平行直线可以确定一个平面定理可知，故可在这个平面上作出NR∥MC
由于要求的三棱锥R－A1BE的顶点R在平面A1BE的射影（或者它的高）不容易，所以采用换顶求高法，先求出它的体积，再求出它的射影长和这条CM斜线长就可以求出它的角的正弦值了。
∵V三棱锥R－A1BE＝V三棱锥A1－BER＝1/3×A1C×S△BER
＝1/3×2√3×1/2×2×2＝4/3√3
∴V三棱锥R－A1BE＝ 1/3×S△A1BE×h＝4/3√3
h＝4√3/S△A1BE
可以求出 BE＝√5 A1E＝√20 A1B＝√21
∵以上三个无理数组成的三角形若用一般公式（如海伦公式）求面积不易求
∴ 借助三角函数公式求面积 S△A1BE＝1/2×A1E×EB×sin∠A1EB
先用余弦定理可以求出 cos∠A1EB＝1/5
利用正弦和余弦关系得 sin∠A1EB＝2/5√6
代入S△A1BE＝1/2×√5×√20×2/5√6＝2√6
∴h＝4√3/S△A1BE＝4√3÷2√6＝√2
设R在△A1BE上的射影为H
∴ sin∠RNH＝h：RN ＝ √2 ÷2＝1/2√2
所以所求的 CM与平面A1BE所成的夹角 是arc sin 1/2√2 ＝45度
