Question

函数对称性的证明

设函数y=f(x),若对任意实数x,f(a-x)=f(b+x),证明函数的图像关于直线x=(a+b)/2对称 设函数y=f(x),若对任意实数x,f(a-x)=-f(b+x),证明函数的图像关于点((a+b)/2，0)对称.

Answer 1

那个你把它当结论记住就行了，没必要自己死很多脑细胞证明出来!
第一个，令X0=x+(b-a)/2,根据f(a-x)=f(b+x)，有f(a-x0)=f(b+x0)，
即f(a-(x+(b-a)/2)=f(b+x+(b-a)/2),化简得f((a+b)/2-x)=f((a+b)/2+x),
因此函数的图像关于直线x=(a+b)/2对称。
第二个类似。
令X0=x+(b-a)/2,根据f(a-x)=-f(b+x)，有f(a-x0)=-f(b+x0)，
即f(a-(x+(b-a)/2)=-f(b+x+(b-a)/2),化简得f((a+b)/2-x)=-f((a+b)/2+x),
所以函数的图像关于点((a+b)/2，0)对称.