Question

导数是奇函数的原函数一定是偶函数吗？

Answer 1

不一定
比如y=x^3是奇函数
导数是偶函数
但是y=x^3+3
导函数没变，但是不是奇函数了
如果加上0点的值是0
，就一定是奇函数了
f(x)-f(0)=f'(x)
在0~x的定积分
同理
f(-x)-f(0)=f'(x)
在0~-x的定积分
由于f'(x)=f'(-x)
所以f(x)-f(0)=-f(-x)+f(0)
f(x)=-f(-x)+2f(0)
只有f(0)=0才是奇函数

Answer 2

不一定。例如：
令f(x)=x^2,
(x<0)
x^2+1,
(x>0)
f(x)在原点没有定义，同时不是偶函数。
但f'(x)=2x
(x不等于0)是奇函数。

Answer 3

这个问题我以前回答过
这是个真命题
证明：
根据积分定义，有
f(x)-f(0)=∫<0,x>
f'(x)
dx
f(-x)-f(0)=∫<0,-x>
f'(x)
dx
∵f'(x)是奇函数
∴f'(-x)=-f'(x)
∴∫<0,-x>
f'(x)
dx
=-∫<0,-x>
f'(x)
d(-x)
=∫<0,-x>
f'(-x)
d(-x)
=∫<0,t>
f'(t)
d(t)
=∫<0,x>
f'(x)
d(x)
即f(x)-f(0)=f(-x)-f(0)
∴f(x)=f(-x)
故原命题成立
证毕