Question

已知a,b属于R+，a+b=1求证ax^2+by^2≥（ax+by）^2

柯西不等式我们没学过，要用作差法证明，谢谢

Answer 1

根据：a，b>0 和 a+b=1 导出：
ax^2+by^2-(ax+by)^2
=(a-a^2)x^2+(b-b^2)y^2-2abxy //: a=1-b 代入左式：
=(b-b^2)(x^2+y^2-2xy)
=(b-b^2)(x-y)^2 //: 0 < a,b < 1 , b-b^2>=0
>=0
因此：ax^2+by^2 ≥ (ax+by)^2

Answer 2

此题用柯西不等式(a²+b²)(c²+d²) >= (ac+bd)²
ax²+by² = (a+b)*(ax²+by²) >= (ax+by)²
即，得证。

Answer 3

ax^2+by^2=ax^2+by^2(a+b)=a²x²+b²y²+ab(x²+y²)≥a²x²+b²y²+ab*2xy=（ax+by）^2
均值不等式