Question

请教一高数题，如下：

设f(x)在（-∞，a）可导。limf'(x）=b<0（x→-∞）,limf(x)=a>0（x→a-0），求证f（x）在（-∞，a）至少有一个零点。

Answer 1

∵f(x)在(负无穷，a)上可导，limf(x)=a（x→a-0），
∴f(x)在(负无穷，a]上连续
又∵f（负无穷）×f（a）<0
根据零值定理
在(负无穷,a)内存在至少一点使 f（p）=0
即f（x）在（-∞，a）至少有一个零点

追问

f（x）是在（-∞，a）连续而不是 （-∞，a] ，怎么就得出f（负无穷）×f（a）<0，完全没有道理。

追答

limf(x)=a（x→a-0），
所以在闭区间连续，我上面写了

追问

那也不对。limf(x)=α（x→a-0），
所以在闭区间连续，这也没道理吧··根本都不能肯定f（x）在x=a时有定义。

追答

你好好看看书上左连续、右连续和闭区间函数连续，再来问
f(x)在（a,b)连续,如果a的右极限和b的左极限存在，则在a右连续，b左连续
所以f(x)在闭区间连续

你好好看看书，把定义搞明白了再问吧

追问

那f（负无穷）*f（a）=(x0)+b/2(x-x0) .
因此limf（x）=+∞（x→-∞），所以f（负无穷）*f（a）<0

追答

所以我问你题是不是抄错了，你自己都说了limf（x）=+∞（x→-∞），所以不可能得到
f（负无穷）*f（a）0, 得到f'(x)>b/2，当x<A时，于是
f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)<b/2*(x-A)，当x趋于负无穷，f(x)趋于负无穷

你再看看

Answer 2

第一问：设A>0, 由条件可知存在N>0, 当x>N时, f(x)>A/2, 原式=∫[0,N]f(t)dt+∫[N,x]f(t)dt>∫[0,N]f(t)dt+A(x-N)/2->+∞ (x->+∞)
第二问：令t=nx, 原式=n^{-1}∫[0,n)f(t)dt 然后用Stolz公式及积分中值定理可得证