Question

如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°，CA=CB，D为BC中点，E是AB上的一点，且AE=2EB,求证AD⊥CE

Answer 1

作BF垂直BC与CE的延长线相交于点F。
因为,∠ACB=90°，BF垂直BC，
所以，BF平行于AC，
所以，三角形BEF相似三角形AEC
所以，BF/AC=BE/AE，
因为AE=2BE，所以，BF/AC=1/2，即有BF=AC/2。
因为CD=BC/2，AC=BC，
所以，BF=CD。
在三角形ACD和三角形CBF中
AC=CB，
∠ACB=∠CBF=90°，
CD=BF，
所以，三角形ACD全等于三角形CBF，
所以∠CAD=∠BCF
因为∠ACE+∠BCF=∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠CAD=90°
即有AD⊥CE。

Answer 2

AB=BC
∠ABF=∠FBE=135°
∵OE=OF，OB=OC(等腰直角三角形)
∴BF=CE
∴△ABF≌△BCE
∴AF=BE
延长CB交AF于M
∠FAB=∠EBC，∠EBC+∠E=45°
∴∠FAB+∠E=45°
∴∠FAE+∠E=90°
∴∠AME=90°

Answer 3