Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB‖DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,PA=AD=DC=1/2AB=1,M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

Answer 1

第一个问题：
∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA。
∵AB∥CD、∠DAB＝90°，∴CD⊥AD。
由CD⊥PA、CD⊥AD、PA∩AD＝A，得：CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PCD。

第二个问题：
过B作BE∥AC交DC的延长线于E。则：∠PBE＝AC、PB所成的角。
∵CD⊥AD、AD＝DC＝1/2，∴AC＝√2/2。
∵AB∥CD，∴AB∥CE，又BE∥AC，∴ABEC是平行四边形，∴CE＝AB、BE＝AC＝√2/2，
∴DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝1/2＋1＝3/2。
∴由勾股定理，有：AE＝√（AD^2＋DE^2）＝√（1/4＋9/4）＝√10/2。

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥平面ABED，∴PA⊥AE、PA⊥AB，∴由勾股定理，有：
PE＝√（PA^2＋AE^2）＝√（1/4＋10/4）＝√11/2。
PB＝√（PA^2＋AB^2）＝√（1/4＋1）＝√5/2。

由余弦定理，有：
cos∠PBE
＝（PB^2＋BE^2－PE^2）/（2PB×BE）＝（5/4＋1/2－11/4）/［2×（√5/2）×（√2/2）］
＝（5＋2－11）/（2√10）＝－4/（2√10）＝－√10/5。
∴∠PBE＝arccos（－√10/5）。
∴AC、PB所成的角为 arccos（－√10/5）。

第三个问题：
过A作AN⊥CM交CM于N，取AB的中点为F。
∵M、F分别是PB、AB的中点，∴MF∥PA，又PA⊥AB，∴AB⊥MF。
∵AB∥DC，∴AF∥DC。
∵DC＝1/2、AF＝AB/2＝1/2，∴AF＝DC。
由AF∥DC、AF＝DC，得：AFCD是平行四边形，而∠FAD＝90°，∴平面四边形AFCD是矩形，
∴AB⊥CF。
由AB⊥MF、AB⊥CF、MF∩CF＝F，得：AB⊥平面MCF，∴CM⊥AB。
由CM⊥AB、CM⊥AN、AB∩AN＝A，得：CM⊥平面NAB，∴BN⊥CM。
∵AN⊥CM、BN⊥CM，∴∠ANB＝二面角A－CM－B的平面角。

∵PA⊥AB、M是PB的中点，∴AM＝PB/2＝√5/4。
∵AFCD是矩形，又AD＝DC，∴矩形AFCD是正方形，∴∠ACF＝45°。
显然有：CF＝AD＝1/2、BF＝AB/2＝1/2、CF⊥BF，∴BC＝√2/2、∠BCF＝45°。
∴∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝45°＋45°＝90°，∴BC⊥AC。
∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，又BC⊥AC、PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC。
∵BC⊥PC、M是PB的中点，∴CM＝PB/2＝√5/4。

∵AM＝CM＝BM＝√5/4、AC＝BC＝√2/2，
∴cos∠ACM＝cos∠BCM＝（AC/2）/CM＝（√2/4）/（√5/4）＝√2/√5。
显然有：CN/AC＝cos∠ACM＝√2/√5，∴CN/（√2/2）＝√2/√5，∴CN＝1/√5。
∴由勾股定理，有：AN＝BN＝√（AC^2－CN^2）＝√（1/2－1/5）＝√3/√5。
∴sin（∠ANB/2）＝（AB/2）/AN＝（1/2）/（√3/√5）＝√5/（2√3）＝√15/6。
∴∠ANB/2＝arcsin（√15/6），∴∠ANB＝2arcsin（√15/6）。
∴二面角A－CM－B的大小是 2arcsin（√15/6）。

Answer 2

法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；
（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．
法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）求出
AP ，
DC ，计算
AP •
DC =0 ，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ） 求出
AC ，
PB ，计算 cos＜
AC ，
PB ＞=
AC •
PB
|
AC |•|
PB | . 即可求得结果．
（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使
NC =λ
MC ，说明∠ANB为所求二面角的平面角．求出
AN ，
BN ，计算
cos(
AN ，
BN )=
AN •
BN
|
AN |•|
BN | 即可取得结果．