Question

考研 设随机变量X~N(0,1),Y~N(0,1)且X,Y相互独立 求 E[X^2/(X^2+Y^2)]

这题是不是就是用X^2/(X^2+Y^2)*f(x)*f(y)在积分 我想问一下几分应该怎么积 要华为极坐标 那上下限怎么取

Answer 1

可以这么做：
因为X,Y相互独立, 所以E[X^2/(X^2+Y^2)]=E[Y^2/(X^2+Y^2)].
而E[X^2/(X^2+Y^2)]+E[Y^2/(X^2+Y^2)]=E[(X^2+Y^2)/(X^2+Y^2)]=1.
所以E[X^2/(X^2+Y^2)]=1/2.

如果非要用积分计算，则
E[X^2/(X^2+Y^2)]

=∫∫ x^2/(x^2+y^2) *(1/2pi) * e^((-x^2-y^2)/2) dxdy.(在整个xOy平面积分)
=∫∫ (cos(theta))^2 *(1/2pi) * e^(-r^2/2) *r dr d(theta).(在r>=0, 0<=theta<2pi积分).
经计算也为1/2.

追问

亲 为什么E[X^2/(X^2+Y^2)]=E[Y^2/(X^2+Y^2)]

追答

究其原因可以从积分看出：
因为E[(X^2-Y^2)/(X^2+Y^2)]
=∫∫ (x^2-y^2)/(x^2+y^2) *(1/2pi) * e^((-x^2-y^2)/2) dxdy.(在整个xOy平面积分)
它是对称的，即在y=x上方积分与y=x下方积分抵消，结果为0.