Question

初中函数题（求详解）

已知函数f（X）＝（3－a）X（的平方）＋2（a－2）X－4的最大值小于2分之一，求常数a的范围。
做这种题，第一步应该怎么办了

Answer 1

a=3时，f(x)=2x-4，没有最小值，不满足题意，舍去。函数为二次函数。
函数有最大值，二次项系数<0 3-a<0 a>3
顶点纵坐标：(-4)- [2(a-2)]^2/[4(3-a)]
最大值<1/2
(-4)-[2(a-2)]^2/[4(3-a)]<1/2
整理，得
2(a-2)^2/(3-a)+9>0
(2a^2-17a+35)/(3-a)>0
(2a-7)(a-5)/(a-3)<0
7/2<a<5或a<3
又a>3，因此7/2<a<5

7/2<a<5

做这类题，主要分两步：1.判断二次项系数正负，得到a的一个取值范围；2.通过顶点纵坐标列不等式，得到a的第二个取值范围，两个范围取交集即可。

Answer 2

因为二次函数有最大值
所以3-a＜0，得a＞3
f（X）＝（3－a）X²＋2（a－2）X－4
=(3-a)(x²+2(a-2)x/(3-a))-4
=(3-a)(x+(a-2)/(3-a))²-4-(3-a)((a-2)/(3-a))²
=(3-a)(x+(a-2)/(3-a))²-4-(a-2)²/(3-a)
所以-4-(a-2)²/(3-a)＜1/2
即(a-2)²/(3-a)＞-9/2
2（a-2)²＜-9(3-a)
2a²-8a+8+27-9a＜0
2a²-17a+35＜0
(a-5)(2a-7)＜0
得3.5＜a＜5
结合a＞3
可得a的范围为3.5＜a＜5

Answer 3

第一步首先判断是什么函数，因为说其最大值小于1/2 ，所以判断其是二次函数
又因为是说最大值，所以开口向下，即二次项系数（3-a）＜0 ，得到 a＞3
而二次函数的顶点公式是（-b/2a，(4ac-b²)/4a）
因此 (4ac-b²)/4a＜1/2
代入并去分母得 4(3-a)(-4)－2²(a-2)²＞2（3-a） 此处注意（3-a）＜0 因此要改变不等号方向
整理得 -4a²+32a-64＞6-2a 即-4a²+34a-70＞0 -2a²+17a-35＞0
分解因式得 (-2a+7)(a-5)＞0
如果没学过一元二次不等式 可以将这一步认为是一个开口向下的二次函数，在y＞0时的x的取值范围
解之 3.5＜a＜5 又结合 a＞3 来看
综上 3.5＜a＜5
做题步骤小结：
1 判断是什么函数（由题意可知）
2 若是二次函数 则首先注意二次项系数的正负号 即开口方向 ；若有必要还应观察 Δ的取值
若是一次函数 则应根据题意 判断一次项的正负号 确定其经过的象限等
3 利用已知条件 合理得进行相应的计算（在计算过程中应小心谨慎 避免出现计算错误）
4 求出相应的取值后 不忘之前求出的条件和原题中可能所隐含的限制条件 并进行检验。