Question

已知f(x)=1/x-log21+x/1-x,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性。。

Answer 1

解
要使函数f(x)=1/x-log21+x/1-x有意义，必须：
（1+x）/（1-x）＞0，x≠0, 1-x≠0
解得 -1＜x＜1,且x≠0
因此函数的定义域是 （-1,0）∪（0,1）

追问

后面的问题呢

追答

（2）讨论奇偶性
因为 f(x)=1/x-log21+x/1-x
所以 f(-x)=1/（-x）-log2（1-x）/（1+x）
=-1/x+log2（1+x）/（1-x）
=-[1/x-log2（1+x）/（1-x）]
=- f(x)
所以函数为奇函数
（3）讨论单调性
求导f'(x）=-1/x²-[（1-x）/（1+x）]* （1/ln2)[1/(1-x)²]
=-1/x²-1/[ln2*(1-x²)]
=1/[ln2*(x²-1)]-1/x²

Answer 2

 

 

追问

1

追答

(1)
要使函数有意义必须：
{x≠0 ==>x≠0
{(1+x)/(1-x)>0==>-1<x<1
所以定义域为（-1，0)∪(0,1)
(2)
g(x)=log2[(1+x)/(1-x)]
g(-x)=log2[(1-x)/(1+x)]
g(x)+g(-x)=log2(1)=0,所以函数g(x)是奇函数，
f(x)=1/x-g(x)
而函数 1/x也是奇函数，
两个奇函数相减后还是奇函数
所以f(x)是奇函数
（3）
减函数 ；
理由是：
（1+x)/(1-x)= -1-2/(x-1)在（0，1）单调增套过对数还是单调增，乘以 -1后
-log2[(1+x)/(1-x)] 就是单调减的，而 1/x也是单调减的，
所以f(x)在（0，1）上单调减，由于f(x)是奇函数，在它的对称定义域（-1，0）上还是单调减的